W
pracy przedstawione są dwie klasy przybliżonych metod rozwiązywania
równań różniczkowo funkcyjnych ze szczególnym uwzględnieniem
równań różniczkowych z opóźnieniem. Do pierwszej klasy należą
metody bezpośrednie reprezentowane w przedkładanej rozprawie przez
dwukrokowe metody Rungego – Kutty. Należą one do klas ogólnych
metod liniowych rozwiązywania równań różniczkowych. Drugą klasę
przybliżonych metod liniowych rozwiązywania równań różniczkowo
funkcyjnych stanowią metody iteracyjne reprezentowane w tej pracy
przez metody typu „waveform relaxation” (WR w skrócie). Ponieważ
za pomocą równań różniczkowo funkcyjnych można modelować wiele
zjawisk występujących w biologii, w epidemiologii, w technice oraz
wielu innych dziedzinach nauki przybliżone metody rozwiązywania
takich równań pojawiających się w procesie modelowania
wymienionych zagadnień stanowią cenne narzędzie umożliwiające
ich badanie.
W
mającym charakter wprowadzający rozdziale 1 podane są przykłady
różnych klas równań różniczkowo funkcyjnych zaczynając od
bardzo prostych i kończąc na dużo bardziej skomplikowanych. Podane
są również przykłady równań modelujących pewne zagadnienia z
rozwoju populacji, epidemiologii, modelujące pewne reakcje chemiczne
oraz inne zagadnienia techniczne. Naszkicowany został rozwój
bezpośrednich i iteracyjnych metod rozwiązywania równań
różniczkowo funkcyjnych na przestrzeni kilkudziesięciu lat.
Omówione zostały też zalety i wady tych dwóch klas metod. Podane
zostały również niezbędne definicje pojęć i terminów
występujących w dwóch następnych rozdziałach.
Rozdział
2 poświęcony jest dwukrokowym metodom Rungego – Kutty i
konstrukcji interpolacji dających tzw. ciągły „output”, tj.
pozwalającym na obliczenie przybliżonego rozwiązania równania w
dowolnym punkcie t
[ti,
ti+1]
pomiędzy
węzłami ti
i t
i+1
na podstawie przybliżonych wartości rozwiązania w tych węzłach
oraz pewnych innych wielkościach otrzymanych w trakcie obliczeń
przybliżeń w węzłach. Takie metody mogą być użyte do
rozwiązywania równań różniczkowo funkcyjnych. Opisane zostały
konstrukcje metod uwikłanych i nieuwikłanych wysokiego i niskiego
rzędu, które są odpowiednie do rozwiązywania tzw. równań
sztywnych i niesztywnych. Mogą one być wykorzystane przy użyciu
jednoprocesorowych jak i wieloprocesorowych komputerów pozwalających
na obliczenie równoległe. Pokazano również jak uzyskane metody
mogą być zaimplementowane dla zmiennego kroku. Przeprowadzona
została analiza ich stabilności gdy stosuje się je do
rozwiązywania równań różniczkowych z opóźnieniem. Podane
zostały też oszacowania błędów, które wykorzystuje się w
strategii wyboru długości kroku. Skonstruowane metody zostały
przetestowane na wielu równaniach różniczkowo funkcyjnych
stawiających duże wymagania od przybliżonych metod ich
rozwiązywania.
Rozdział
3 poświęcony jest metodom iteracyjnym rozwiązywania równań
różniczkowych funkcyjnych, a głównie różnym metodom typu
„waveform relaxation” dla równań różniczkowych z opóźnieniem.
Badane są w nim warunki gwarantujące zbieżność takich metod
zastosowanych do rozwiązywania równań różniczkowych z
opóźnieniem typu neutralnego i nieneutralnego. Często warunki
gwarantujące zbieżność metody pozwalały tez udowodnić istnienie
i jednoznaczność rozwiązania rozpatrywanego zagadnienie.
Szczególna uwaga została poświęcona oszacowaniom błędów
przybliżeń kolejnych iteracji uwzględniającym wpływ
występującego w równaniu opóźnienia na wielkość błędu,
którego zaniedbanie powoduje utratę pewnych ważnych własności
(np. uzyskanie rozwiązanie zaburzonego tylko błędami zaokrągleń
w obliczeniach po skończonej liczbie iteracyjnej). W rozdziale tym
rozpatrzone zostały również tzw. zaburzone ciągłe względem
czasu metody typu WR jak i wiele metod typu iteracyjnego dla układów
równań różniczkowo algebraicznych. Uzyskane rezultaty zostały
zweryfikowane na numerycznych przykładach.
Wszystkie
wyniki stanowiące treść rozdziału 2 i 3 zostały uzyskane przez
autora tej rozprawy wraz z współautorami prac cytowanych w
bibliografii.