W procesie analizy lub syntezy układu regulacji automatycznej bazujemy na modelu matematycznym obiektu fizycznego. Taki model opisuje dynamikę rzeczywistego obiektu w sposób przybliżony. Różnica pomiędzy modelem a rzeczywistym obiektem jest określana jako niepewność modelu matematycznego. Typowe źródła niepewności modelu to tzw. niemodelowana dynamika (wysokoczęstotliwościowa), pominięcie nieliniowości, efekty redukcji rzędu modelu czy też możliwość zmian (perturbacji) parametrów obiektu fizycznego, zależnych od czynników środowiskowych, takich jak np. temperatura, prędkość wiatru czy proces starzenia się elementów. Niepewność modelu matematycznego jest często określana (dla prostoty sformułowań) jako niepewność fizycznego układu dynamicznego (obiektu), pomimo że dotyczy ona tylko modelu matematycznego.
Dynamiczny układ liniowy stacjonarny można opisać albo w dziedzinie czasu za pomocą równań stanu, albo w dziedzinie częstotliwości za pomocą macierzy transmitancji operatorowych. Jeżeli przy tym opisie uwzględnimy niepewność, to otrzymamy model układu dynamicznego z niepewnością. Rozróżnia się modele z niepewnością strukturalną (struktura niepewności jest znana) oraz modele z niepewnością niestrukturalną (struktura niepewności nie jest znana).
Układy dynamiczne, których modele matematyczne zawierają niepewność Strukturalną są nazywane układami o niepewnych parametrach. Przyjmuje się najczęściej, że niepewne parametry mogą przyjmować swoje wartości ze znanych przedziałów liczbowych. Efektem niedokładnej znajomości parametrów modelu matematycznego jest niedokładna znajomość współczynników wielomianu charakterystycznego oraz elementów macierzy stanu.
Stabilność układu liniowego stacjonarnego jest w pełni określona przez rozkład jego biegunów, tj. zer jego wielomianu charakterystycznego lub wartości własnych macierzy stanu. Z tego powodu przy badaniu stabilności układów o niepewnych parametrach rozpatruje się stabilność wielomianów o niedokładnie znanych współczynnikach oraz stabilność macierzy o niedokładnie znanych elementach. Oznacza to, że rozpatruje się problem stabilności rodzin wielomianów charakterystycznych oraz rodzin macierzy stanu. stabilność rodziny wielomianów charakterystycznych lub stabilności rodzin macierzy nazywa się stabilnością odporną (krzepką).
Spis treści:
1. Wstęp
2. Matematyczny opis układów liniowych stacjonarnych z niepewnością
2.1. Modele matematyczne układów z niepewnością
2.1.1. Modele z niepewnością strukturalną
2.1.2. Modele z niepewnością niestrukturalną
2.2. Przykłady układów o niepewnych parametrach
3. Podstawowe definicje i twierdzenia
3.1. Definicje odpornej stabilności rodziny wielomianów charakterystycznych
3.2. Definicje odpornej stabilności rodziny macierzy stanu
3.3. Wprowadzenie do teorii odpornej stabilności
4. Metody badania odpornej stabilności
4.1. Metoda zbioru spektralnego
4.2. Uogólnienie klasycznych analitycznych metod badania stabilności wielomianów charakterystycznych
4.2.1. Odporna i-stabilność
4.2.2. Odporna AT-stabilność
4.3. Warunek wykluczenia zera
4.4. Metoda przestrzeni niepewnych parametrów
4.5. Metody badania odpornej stabilności rodziny macierzy stanu
5. Odporna stabilność wypukłej kombinacji dwóch wielomianów oraz macierzy
5.1. Odporna stabilność wypukłej kombinacji dwóch wielomianów
5.1.1. Metody graficzne
5.1.2. Metody analityczne
5.1.3. Metoda wykorzystująca warunek wzrostu Rantzera
5.2. Odporna stabilność wypukłej kombinacji dwóch macierzy
5.2.1. Metody graficzne
5.2.2. Metody analityczne badania odpornej Z-stabilności
6. Odporna stabilność wielomianów przedziałowych
6.1. Odporna Z-stabilność wielomianu przedziałowego
6.1.1. Badanie odpornej Z-stabilności
6.1.2. Wyznaczanie dopuszczalnych przedziałów zmian wartości współczynników
6.1.2.1. Metody analityczne
6.1.2.2. Metody częstotliwościowe
6.2. Odporna D-stabilność wielomianu przedziałowego
7. Odporna stabilność rodziny wielomianów o współczynnikach liniowo zależnych od niepewnych parametrów
7.1. Zbiór wartości
7.2. Warunek wykluczenia zera
7.3. Twierdzenie krawędziowe
7.3.1. Odporna stabilność wielomianu przedziałowego
7.4. Metody funkcji testujących
7.4.1. Metoda funkcji testującej d(y)
7.4.2. Metoda funkcji testującej T(y)
7.4.3. Metoda funkcji testującej F(y)
7.4.4. Uwagi końcowe
8. Odporna stabilność rodziny wielomianów o zależności współczynników od niepewnych parametrów ogólniejszej niż liniowa
8.1. Charakter}styka problemu w przypadku ogólnym
8.2. Odporna stabilność rodziny wielomianów o współczynnikach zależnych wieloliniowo od niepewnych parametrów
8.2.1. Twierdzenie o odwzorowaniu i warunki dostateczne odpornej stabilności
8.2.2. Podział zbioru wartości niepewnych parametrów i słabsze warunki dostateczne odpornej stabilności
8.2.3. Warunki konieczne i wystarczające w pewnych przypadkach szczególnych
8.2.3.1. Rodzina wielomianów o symetrycznej strukturze niepewności
8.2.3.2. Rodzina wielomianów sprowadzalnych do postaci wzajemnie niezależnej strukturze niepewności
9. Odporna stabilność rodziny macierzy stanu
9.1. Odporna stabilność rodziny macierzy o elementach liniowo zależnych od niepewnych parametrów
9.2. Odporna stabilność macierzy przedziałowych
9.3. Uwagi końcowe
10. Uwagi końcowe
Dodatek: Parametryczne opisy brzegów wybranych obszarów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
Bibliografia
