Rozwój automatyki w ostatnich latach, w dziedzinie syntezy nowych
algorytmów regulacji, jest spowodowany gwałtownym rozwojem techniki
komputerowej. Z jednej strony można bardzo łatwo przeprowadzać
eksperymenty symulacyjne dla układów automatyki, z drugiej strony
mikroprocesorowe urządzenia sterujące są w stanie wykonywać bardzo
złożone algorytmy zaprojektowane przez inżynierów.
Teoria układów liniowych (opisywanych liniowymi równaniami
różniczkowymi) jest bardzo dobrze poznana [Kaczorek 1999]. Dla obiektów
tego typu można syntezować układy regulacji spełniające żądane
wymagania, natomiast teoria i praktyka układów nieliniowych w dalszym
ciągu stanowi wyzwanie dla naukowców i inżynierów. Postęp w tej
dziedzinie polega na ciągłym poszerzaniu klasy nieliniowych obiektów,
dla których można konstruować poprawnie działające układy regulacji.
Rozwijające się metody syntezy takich układów można podzielić na dwie
zasadnicze grupy. Pierwsza z nich to metody heurystyczne. Do tej grupy
zalicza się metody tzw. sztucznej inteligencji (ang. odpowiednik soft
coriipattirtg) oparte na sieciach neuronowych czy logice rozmytej oraz
metody wykorzystujące model obiektu w pętli sprzężenia zwrotnego (model
based control). Druga grupa metod to tzw. metody analityczne,
polegające na ścisłym wyznaczaniu prawa regulacji. Do tej grupy zalicza
się metody oparte na linearyzacji ([Isidori 1995], [Nijmeijer, van der
Schaft 1990], [Sastry 1999]) oraz na funkcji Lapunowa (np.
Uackstepping) ([Krstić i in. 1995], [Isidori 1999]).
Istota linearyzacji polega na zastąpieniu modelu nieliniowego
modelem liniowym z zachowaniem możliwie jak największej liczby cech
modelu pierwotnego. Najprostszym sposobem wykonania linearyzacji jest
zastosowanie przybliżenia liniowego. Nieliniowe funkcje występujące w
równaniach rozwija się w szereg Taylora wokół wybranego punktu
równowagi. Jednak przybliżenie liniowe dobrze odzwierciedla własności
pierwotnego modelu jedynie w otoczeniu wybranego punktu równowagi. To
podejście jest historycznie najstarsze i było stosowane od początków
rozwoju teorii sterowania układów nieliniowych. Jednak na przełomie lat
70. i 80. ubiegłego wieku pojawiła się możliwość linearyzacji przez
odpowiednie przekształcenie zmiennych stanu. Okazało się, że można tak
przekształcić nieliniowy model, by był on liniowy w określonym
obszarze, w którym pracuje obiekt, a nie tylko w jednym punkcie.
Spis treści:
1. Wstęp
2. Modele matematyczne procesów termoenergetycznych
2.1. Model turbiny wielostopniowej
2.2. Model bloku energetycznego
2.3. Model procesu przegrzewu pary
2.4. Podsumowanie
3. Narzędzia matematyczne do linearyzacji
3.1. Pochodne i nawias Liego
3.2. Dyfeomorfizm i rząd względny
3.3. Dystrybucje i twierdzenie Frobeniusa
4. Rodzaje linearyzacji
4.1. Przybliżenie liniowe
4.2. Lincaryzacja przez czystą transformację zmiennych stanu
4.3. Linearyzacja przez sprzężenie zwrotne
4.4. Linearyzacja przez dynamiczne sprzężenie zwrotne
4.5. Linearyzacja nieregularna
4.6. Rozszerzona linearyzacja nieregularna
5. Metody wyznaczania linearyzacji
5.1. Linearyzacja obiektów o jednym wejściu
5.2. Linearyzacja obiektów o wielu wejściach
5.3. Linearyzacja przez częściowo tożsamościowy dyfeomorfizm i sprzężenie zwrotne
5.4. Linearyzacja z rozszerzeniem dynamicznym
5.5. Rozszerzona linearyzacja nieregularna
6. Układy regulacji wykorzystujące linearyzację
6.1. Układ regulacji turbin wielostopniowych
6.2. Układ regulacji bloku energetycznego
6.3. Układ regulacji przegrzewacza pary
7. Podsumowanie
8. Literatura
