W książce przedstawione zostały zagadnienia obejmujące funkcje specjalne (funkcje Eulera, wielomiany ortogonalne, funkcje Bessela), dystrybucje, analizę Fouriera (w ujęciu dystrybucyjnym), funkcje Greena, operatory w przestrzeniach Hilberta, metody drugiej kwantyzacji, operatorowe funkcje Greena oraz elementy teorii grup z uwzględnieniem jej zastosowań w mechanice kwantowej, chemii i fizyce ciała stałego. Każdy rozdział uzupełniony został o zestaw odpowiednich zadań.

Spis treści:

Przedmowa 
 
1. OPERACJE RÓŻNICZKOWE NA POLACH SKALARNYCH I WEKTOROWYCH 
1.1. Konwencja sumacyjna 
1.2. Tensor antysymetryczny ?ijk 
1.3. Gradient funkcji skalarnej 
1.4. Dywergencja wektora 
1.5. Rotacja wektora 
1.6. Laplasjan funkcji skalarnej 
1.7. Ważniejsze związki między wektorami i ich pochodnymi 
1.8. Współrzędne krzywoliniowe 
1.9. Gradient we współrzędnych walcowych i sferycznych 
1.10. Elementy drogi wzdłuż linii współrzędnych 
1.11. Laplasjan we współrzędnych krzywoliniowych 
Zadania 
 
2. FUNKCJE ZESPOLONE 
2.1. Wprowadzenie 
2.2. Przykłady funkcji zespolonych 
2.3. Różniczkowanie funkcji zespolonych. Funkcje holomorficzne 
2.4. Całkowanie funkcji zespolonych 
2.5. Wzór całkowy Cauchy'ego 
2.6. Szereg Laurenta 
2.7. Residuum funkcji i jego obliczanie 
2.8. Obliczanie całek rzeczywistych metodą residuów 
2.9. Konforemność funkcji holomorficznych 
Zadania 
 
3. FUNKCJE EULERA 
3.1. Funkcja gamma Eulera 
3.2. Funkcja beta Eulera 
3.3. Wzór Stirlinga 
Zadania 
 
4. WIELOMIANY ORTOGONALNE 
4.1. Definicje ortogonalności 
4.2. Waga i jej własności 
4.3. Ogólne własności wielomianów ortogonalnych. 
4.4. Równania różniczkowe dla wielomianów ortogonalnych 
4.5. Wzór Rodriguesa 
4.6. Normy wielomianów 
4.7. Związki rekurencyjne 
4.8. Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych 
Zadania 
 
5. FUNKCJE SFERYCZNE 
5.1. Równanie definiujące funkcje sferyczne i jego rozwiązanie 
5.2. Ortogonalność funkcji sferycznych. 
5.3. Norma funkcji sferycznych 
5.4. Pełny wzór na funkcje sferyczne 
Zadania 
 
6. FUNKCJE BESSELA 
6.1. Równanie różniczkowe na funkcje Bessela. Szereg Bessela 
6.2. Funkcje Bessela z indeksem całkowitym i ich funkcja tworząca 
6.3. Przedstawienie całkowe funkcji Bessela z indeksem całkowitym 
6.4. Funkcja Bessela dla indeksu 1/2 
6.5. Wzory rekurencyjne dla funkcji Bessela 
6.6. Zachowanie się funkcji Bessela w pobliżu x = 0 
6.7. Asymptotyczna postać funkcji Bessela z indeksem połówkowym 
6.8. Funkcje Neumanna i Hankela 
6.9. Sferyczne funkcje Bessela 
6.10. Rozwinięcie fali płaskiej na funkcje kuliste (wzór Rayleigha) 
6.11. Metoda przesunięć fazowych w kwantowej teorii rozpraszania 
6.12. Ortogonalność funkcji Bessela 
Zadania 
 
7. FUNKCJE UOGÓLNIONE (DYSTRYBUCJE) 
7.1. Funkcje próbne 
7.2. Ciągi funkcji próbnych 
7.3. Definicja dystrybucji 
7.4. Przykłady dystrybucji 
7.5. Ciągi dystrybucyjne 
7.6. Ciągi deltopodobne 
7.7. Mnożenie dystrybucji przez funkcję 
7.8. Różniczkowanie dystrybucji 
7.9. Pochodna dystrybucyjna funkcji trzech zmiennych: laplasjan 
7.10. Splot dystrybucji 
7.11. Superpozycja delty Diraca z funkcją różniczkowalną 
Zadania 
 
8. TRANSFORMACJA FOURIERA 
8.1. Funkcje próbne 
8.2. Definicja transformaty Fouriera dla funkcji próbnej 
8.3. Transformacja odwrotna 
8.4. Pochodna transformaty 
8.5. Transformata pochodnej 
8.6. Transformata iloczynu dwóch funkcji 
8.7. Transformata splotu dwóch funkcji 
8.8. Iloczyn skalarny transformat 
8.9. Transformata funkcji przesuniętej 
8.10. Transformata funkcji parzystej i nieparzystej 
8.11. Transformata Fouriera dystrybucji 
8.12. Transformata delty Diraca 
8.13. Transformata funkcji stałej 
8.14. Transformata funkcji przesuniętej 
8.15. Transformata potęgi 
8.16. Transformata funkcji sinus 
8.17. Transformata funkcji schodkowej 
Zadania 
 
9. SZEREGI FOURIERA 
9.1. Dystrybucja okresowa 
9.2. Definicja współczynnika Fouriera 
9.3. Szereg Fouriera 
9.4. Równość Bessela-Parsevala 
9.5. Rozwinięcie w szereg sinusów i cosinusów 
9.6. Szeregi Fouriera w fizyce ciała stałego 
Zadania 
 
10. OPERATORY LINIOWE 
10.1. Przykłady operatorów liniowych 
10.2. Iloczyn operatorów 
10.3. Funkcja o argumencie operatorowym 
10.4. Operator przesunięcia 
10.5. Sumowanie szeregów operatorowych 
10.6. Komutator dwóch operatorów 
10.7. Operator sprzężony 
10.8. Operator hermitowski (samosprzężony) 
10.9. Operator odwrotny 
10.10. Operator unitarny 
10.11. Elementy macierzowe operatora 
10.12. Ślad operatora 
10.13. Wektory i wartości własne 
10.14. Zagadnienie własne dla operatorów hermitowskich 
Zadania 
 
11. OPERATORY KREACJI I ANIHILACJI 
11.1. Definicja operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów 
11.2. Bozonowy operator liczby cząstek 
11.3. Związki komutacyjne dla operatorów bozonowych 
11.4. Fermionowe operatory kreacji i anihilacji 
11.5. Fermionowy operator liczby cząstek 
11.6. Związki komutacyjne dla operatorów fermionowych 
11.7. Potęgowanie i mnożenie operatorów kreacji i anihilacji 
11.8. Operatory polowe 
11.9. Wyrażanie dowolnych operatorów jednocząstkowych przez operatory kreacji i anihilacji 
11.10. Diagonalizacja operatora jednocząstkowego 
11.11. Operatory dwucząstkowe wyrażone przez operatory kreacji i anihilacji 
Zadania 
 
12. GRUPY I ICH REPREZENTACJE 
12.1. Abstrakcyjna definicja grupy 
12.2. Przykłady grup algebraicznych 
12.3. Grupa permutacji 
12.4. Grupy symetrii molekuł i kryształów 
12.5. Terminologia najważniejszych grup symetrii molekuł i kryształów 
12.6. Grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej 
12.7. Inwersje, translacje, odbicia 
12.8. Grupy cykliczne, podgrupy, klasy 
12.9. Podział grupy na klasy 
12.10. Reprezentacje grup 
12.11. Reprezentacje równoważne 
12.12. Reprezentacje przywiedlne 
12.13. Własności komutacyjne reprezentacji nieprzywiedlnej 
12.14. Lemat Schura 
12.15. "Wielkie" twierdzenie o ortogonalności 
12.16. Charakter reprezentacji 
12.17. Ortogonalność charakterów 
12.18. Charaktery reprezentacji przywiedlnych 
12.19. Kryterium nieprzywiedlności 
12.20. Reprezentacje i charaktery grup przemiennych 
12.21. Iloczyn reprezentacji 
12.22. Tablice charakterów 
Zadania 
 
13. FUNKCJE GREENA 
13.1. Funkcje Greena dla równań różniczkowych 
13.2. Funkcja Greena dla oscylatora harmonicznego 
13.3. Funkcja Greena dla kwantowej cząstki swobodnej 
13.4. Operatorowa funkcja Greena 
13.5. Elementy macierzowe funkcji Greena w dowolnej bazie 
13.6. Wyrażenie funkcji Greena przez funkcje własne operatora H 
13.7. Funkcje Greena a operatory kreacji i anihilacji 
13.8. Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena 
13.9. Związek z równaniem Schrödingera 
13.10. Związek funkcji Greena z funkcją gęstości stanów 
Zadania 
 
14. RACHUNEK WARIACYJNY 
14.1. Wariacja funkcji i funkcjonału 
14.2. Ekstremum funkcjonału 
14.3. Równania Eulera 
14.4. Zastosowania fizyczne 
14.5. Ekstremum warunkowe 
 
15. TRANSFORMACJA LAPLACE'A 
15.1. Definicja transformaty Laplace'a 
15.2. Przykłady transformat 
15.3. Transformacja odwrotna 
15.4. Transformata pochodnej 
15.5. Transformata całki z oryginału 
15.6. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą transformacji Laplace' a 
15.7. Inne własności transformacji Laplace'a 
Zadania 
 
Dodatek. RÓWNANIA RÓŻNICOWE LINIOWE  
D.1. Równania liniowe pierwszego rzędu 
D.2. Równania jednorodne rzędu drugiego 
 
Odpowiedzi do zadań 
Literatura