Podręcznik adresowany do studentów wyższych szkół technicznych oraz inżynierów zajmujących się dynamiką konstrukcji. Jego układ odpowiada podziałowi działań inżynierskich na modelowanie, analizę, identyfikację, pomiar i syntezę. Zawiera rozdziały poświęcone stateczności ? jednej z najważniejszych właściwości układów fizycznych ? oraz ?drganiom specjalnym? ? parametrycznym, nieliniowym, samowzbudnym i losowym. Większość trudnych pojęć i metod ilustrowana jest przykładami.

Przypomnijmy sobie wpierw, że klasyfikacją drgań nie zajmowaliśmy się na lekcjach fizyki w szkole średniej, gdzie pojawiały się tylko drgania mechaniczne i elektromagnetyczne. Wówczas dowiedzieliśmy się, że pierwsze występują w mechanicznych układach drgających, a drugie w elektrycznym obwodzie drgającym. Tak więc, pierwotny podział można oprzeć na rodzaju obiektów drgających i jest on często stosowany w różnych poradnikach: mamy więc drgania samolotów, drgania obrabiarek, drgania maszyn górniczych, drgania, mostów wiszących itd. Jeżeli weźmiemy pod uwagę, że obiekty są z reguły zbudowane z wielu podzespołów, to możemy mówić o podziale według rodzaju elementów drgających, na drgania łopatek maszyn wirujących (sprężarek, turbin, wentylatorów), drgania sterów obiektów powietrznych i wodnych itp.

W książkach z teorii drgań taki podział w ogóle nie ma miejsca, gdyż nie ujmuje on istoty rzeczy, którą jest mechanizm powstawania drgań i ich opis, czyli rodzaj modelu matematycznego. Jak pamiętamy, model matematyczny nie rozróżnia natury zjawiska, do którego się odnosi – modele drgań zarówno mechanicznych, jak i elektrycznych mają taką samą postać. Z tego punktu widzenia będziemy dalej snuli swoje refleksje.

Nie mamy wątpliwości, że podstawowym kryterium tak rozumianej klasyfikacji jest liczba stopni swobody, Rozróżniamy zatem układy o jednym, wielu oraz nieskończenie wielu stopniach swobody; te ostanie noszą na ogół nazwę układów ciągłych, w opozycji do układów dyskretnych, które obejmują układy o skończonej liczbie stopni swobody. Modelem matematycznym układu dyskretnego jest równanie różniczkowe zwyczajne, natomiast układu ciągłego jest równanie różniczkowe cząstkowe.

Podstawowy podział równań różniczkowych odbywa się według kryterium operacji matematycznych na funkcji niewiadomej ( w celu uproszczenia bierzemy pod uwagę tylko jedno równanie, a nie układy równań). Jeżeli w równaniu różniczkowym funkcja niewiadoma i jej pochodne występują tylko w pierwszej potędze, to mamy do czynienia z równaniem liniowym, a drgania opisane takim równaniem noszą nazwę liniowych. Jeżeli współczynniki równania zależą od funkcji niewiadomej i jej pochodnych, to mamy do czynienia z drganiami nieliniowymi. Występujące wówczas w równaniu iloczyny lub potęgi funkcji niewiadomej i jej pochodnych są przejawami istnienia nieliniowości fizycznych w postaci luzów, praw materiałowych itp.

Ze względu na sposób oddziaływania zewnętrznych źródeł energii, drgania dzielimy na autonomiczne i heteronomiczne. Drgania autonomiczne są opisywane równaniem, w którym czas nie występuje jawnie, co oznacza, że na układ nie działa siła zewnętrzna i parametry układu (np. masa) są stałe.

Najbardziej znanym rodzajem drgań autonomicznych są drgania swobodne. Jeżeli nie ma tłumienia (c = 0) to drgania nazywamy własnymi. Zauważmy, że ta nazwa ma sens tylko w przypadku modeli matematycznych, gdyż w układzie rzeczywistym tłumienie występuje zawsze. Drgania swobodne odbywają się dzięki energii dostarczanej układowi w chwili początkowej, traktowanej jako początek drgań.

Mniej znanym rodzajem drgań autonomicznych są drgania samowzbudne, które charakteryzują się tym, że układ drgający sam dawkuje sobie dopływ energii. Oznacza to, że pobudzanie do drgań samowzbudnych wymaga pewnej energii początkowej, co odróżnia je od drgań wymuszonych ( krótko, choć nieściśle: przy braku drgań nie ma pobudzenia). Można ująć to jeszcze inaczej: siły zewnętrzne działające na układ są zdeterminowane przez ruch samego układu.

Drgania heteronomiczne dzielą się na wymuszone i parametryczne. Typowym przykładem modelu drgań wymuszonych jest równanie opisujące układ, dla którego źródłem drgań jest energia doprowadzona przez silę zewnętrzną F(t). W przypadku jawnej zależnościom czasu choćby jednego ze współczynników równania, zewnętrzne źródło energii przejawia swe działanie poprzez zmianę parametrów układu. W równaniach ruchu może to przybrać postać np. (8.6), jeśli zmianie ulega tylko sztywność. W przypadku ogólnym wszystkie współczynniki równania zależą od czasu, a równanie jest jednorodne.

Bardzo ważne kryterium klasyfikacji opiera się na sposobie funkcji niewiadomej. Otóż mamy do czynienia z drganiami zdeterminowanymi, jeśli posługujemy się opisem zdeterminowanym, oraz z drganiami losowymi, jeśli używamy opisu losowego.

Aby zrozumieć powód pojawienia się wielu książek specjalistycznych z dziedziny drgań, powołujemy jeszcze jedno kryterium, a mianowicie łączenie typów drgań, z którego wynikają drgania jednoimienne (np. swobodne, tłumione, losowe) oraz wieloimienne ( te mogą być nazwane kombinowanymi). Wieloimienność występuje nawet w tytułach książek, np. „Drgania samochodowe wzbudne układów ciągłych” (P.S. Landa, Nauka, Moskwa 1983), lub artykułów, np. „Nonlinear theory of random vibrations” (T.K. Caughey) w zbiorze „Advances In Applied Mechanics”, Academic Press, 1971, s. 209 – 253.

Spis treści

WYKAZ SKRÓTÓW I SYMBOLI

1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

   1. Co to są drgania ?

   2. Oscylator harmoniczny

   3. Zjawiska okresowe w przyrodzie

   4. Drgania w technice

   5. Wpływ drgań na człowieka

   6. Przyczyny powstawania drgań

   7. Zarys historii teorii drgań

   8. Problematyka drgań na tle zadań inżynieryjnych

2. MODELOWANIE UKŁADÓW DRGAJĄCYCH

   1. Pojęcie modelu

   2. Badanie zjawisk za pomocą modeli

   3. Modelowanie matematyczne procesów fizycznych

   4. Elementy układów drgających i ich modele

   5. Podstawowe metody modelowania układów drgających

   6. Zabiegi upraszczające

   7. O specyfice modelowania układów mechanicznych

3. DRGANIA UKŁADÓW LINIOWYCH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

   1. Drgania swobodne

   2. Drgania wymuszone siłą harmoniczną

   3. Drgania wymuszone nagłym przyłożeniem siły

   4. Drgania wymuszone kinematycznie

   5. Metody przybliżone wyznaczania częstości własnej układu

4. KONCEPCJE SPECJALNE W BADANIU UKŁADÓW FIZYCZNYCH

   1. Szeregi Fouriera

   2. Całka Duhamela

   3. Liczby zespolone

   4. Przekształcenia Fouriera i Laplace’a

   5. Transmitancje i charakterystyki częstościowe układów liniowych

   6. Zmienne stanu, płaszczyzna fazowa i punkty osobliwe

   7. Funkcja Diraca

   8. Metoda współczynników i funkcji wpływu

   9. Równania całkowe jako modele zjawisk fizycznych

   10. Opis układów za pomocą schematów blokowych

   11. Elementy algebry liniowej

   12. Struktura rozwiązań układu równań różniczkowych liniowych

   13. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i procesów losowych

5. STATECZNOŚĆ RUCHU MODELI DYSKRETNYCH

   1. Wstęp do zagadnienia stateczności

   2. Stateczność w sensie Lapunowa

   3. Niektóre inne rodzaje stateczności

   4. Stateczność równań różniczkowych liniowych o współczynnikach stałych

   5. Stateczność równań różniczkowych liniowych o współczynnikach okresowych

   6. Badanie stateczności układów nieliniowych

   7. Badanie charakteru punktów osobliwych

   8. Niestandardowe zagadnienia teorii stateczności

6. DRGANIA UKŁADÓW LINIOWYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

   1. Układy o dwóch stopniach swobody

   2. Macierz modalna

   3. Układy o dużej liczbie stopni swobody

   4. Metody przybliżone wyznaczania częstości własnych

7. DRGANIA LINIOWYCH UKŁADÓW CIĄGŁYCH JEDNOWYMIAROWYCH

   1. Co to są układy ciągłe ?

   2. Podstawowe układy rodzajów ciągłych

   3. Drgania swobodne układów ciągłych jednowymiarowych

   4. Drgania wymuszone układów ciągłych jednowymiarowych

   5. Metody przybliżone analizy drgań układów ciągłych

   6. Fale w układach ciągłych na przykładzie struny

8. DRGANIA PARAMETRYCZNE

   1. Przyczynach drgań parametrycznych

   2. Badanie stateczności równania Mathieugo

   3. Przykład badania stateczności układu parametrycznego

9. DRGANIA NIELINIOWE

   1. O specyfice układów nieliniowych

   2. Przyczyny nieliniowości

   3. Podstawowe modele nieliniowe układów drgających

   4. Wyznaczanie głównych cech układów nieliniowych

   5. Synchronizacja

   6. Chaos

10. DRGANIA SAMOWZBUDNE

    1. Wiadomości ogólne

    2. Mechanizmy powstawania drgań samowzbudnych

    3. Rozważania energetyczne

    4. Przykłady układów samowzbudnych

    5. Wprowadzenie równania van der Pola

    6. Rozwiązanie równania van der Pola

11. DRGANIA LOSOWE

    1. Rola ujęcia losowego

    2. Analiza modelu liniowego w przypadku wymuszenia losowego

    3. Ruch płytki w podmuchu wiatru losowego

12. POMIARY DRGAŃ

    1. Po co mierzyć drgania ?

    2. Co to znaczy mierzyć drgania ?

    3. Jak mierzyć drgania ?

    4. Najważniejsze zastosowania pomiarów

13. IDENTYFIKACJA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH

    1. Uwagi wstępne

    2. Klasyfikacja metod identyfikacji

    3. Identyfikacja tłumienia w układzie liniowym

    4. Identyfikacja masy i sztywności układu

14. SYNTEZA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH

    1. Wprowadzenie

    2. Rodzaje syntezy

    3. Synteza bierna

    4. Synteza czynna

15. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ TEORII DRGAŃ

    1. Wielki milczek, czyli nie każdy dzwon bije

    2. Belka Bernoullego – Eulera

    3. Funkcje wpływu dla jednowymiarowych układów ciągłych

    4. Wpływ siły wzdłużnej na częstość drgań giętnych belki

    5. stateczność regulatora Watta

    6. Standardowe równanie Mathieugo

    7. Prędkość krytyczna wałów wirujących

16. POSŁOWIE

    1. Refleksje na temat klasyfikacji drgań

    2. Literatura zalecana

    3. Literatura dla dociekliwych

    4. Co dalej ?

DODATEK A. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A

DODATEK B. WYBRANE WORY MATEMATYCZNE

DODATEK C. KRÓTKIE NOTKI BIOGRAFICZNE

BIBLIOGRAFIA

SKOROWIDZ